高等代数试题

高等代数关于正交矩阵求解

存在性大概是这样的:
A的列向量是n维实向量空间的一组基, 可以用Schmidt正交化得到一组正交基.
考察Schmidt正交化的过程, 可知所得到的第i个向量总是前i列的线性组合.
以矩阵乘法的语言来刻画就是A右乘一个上三角矩阵S得到了列向量为正交基的矩阵P.
注意由Schmidt正交化过程, S的对角线上全为1.
接下来是单位化过程, P右乘对角矩阵D使列向量变为标准正交基, 此时即得到正交矩阵Q.
注意D的对角线上均取正数.
以上过程得到ASD=Q, 于是A=QD^(-1)S^(-1).
易知其中D, S均可逆, 且D的逆仍是对角线为正数的对角矩阵, 而S的逆仍为对角线全1的上三角矩阵.
于是R=D^(-1)S^(-1)是一个对角线全正的上三角矩阵, 满足要求.

分解的唯一性可以这样:
设A=QR与A=PS为两个满足条件的分解.
有T=P^(-1)Q=SR^(-1), 由左端知T为正交矩阵, 由右端知T为对角线全正的上三角矩阵.
于是T的逆即T的转秩也为上三角矩阵, 但转秩仍为上三角矩阵的上三角矩阵只有对角矩阵.
故T为对角线全为正数的对角矩阵, 而T又是正交矩阵, 只能是单位矩阵.
所以P=Q, S=R. 即分解唯一.

求教各位大虾关于 高等代数的几道题（是华中师范大学历年的考研题，找不到答案） 谢谢大家！

额，看了下第一题，好像可以做变换x=y+1，然后用爱森斯坦判别法
别的貌似挺难，晚上再看看吧，不一定能做出来

最后一题，第一问不难；第二问因为只要充分条件，可以说个简单一点的比如|A|>0，这时A*=|A|A^(-1)，所以A'A*A=A|A|A^(-1)A=|A|A，取C=A/√|A|即有A=C'A*C.

第三题，(1)因为A^k=0，所以E=E-A^k=(E-A)(E+A+…+A^(k-1)),所以(E-A)^(-1)=E+A+…+A^(k-1),(2)记(E-A)^(-1)=B,则(E-A)B=E,所以(E-A)(B-λE)=E-λ(E-A)=λA-(λ-1)E,所以|(E-A)(B-λE)|=|λA-(λ-1)E|.若λ为B的特征值，则|B-λE|=0且λ≠0（由于B可逆）,所以|A-(λ-1)E/λ|=0,所以(λ-1)/λ为A的一个特征值，所以(λ-1)/λ=Xi或(λ-1)/λ=0（由于A^k=0,所以|A|^k=0,所以|A|=0,即0也是A的特征值）,所以λ=1/(1-Xi)(易知Xi≠1,因为E-A可逆)或λ=1.反之，若λ=1/(1-Xi)(i=1,…,r)或λ=1,也可验证λ为B的特征值.

第二题最后一个式子(A+B)(s-1)没写错吧……是(A+B)^(s-1)还是(s-1)(A+B)啊

考研要考《数学分析和高等代数》用什么参考书好呢？

你好。参考书在每个学校专业招生简章上有所指定，你报哪个学校买哪个学校的教材先。比如南大编的数学分析教程就相当好，内容很全，而且有向泛函的过度。
考数学系的专业，比如基础数学，应用数学，计算数学，初试都要考基础课数学分析和高等代数2门，每门150。一般来说都是报考学校自主命题，不考数学一二三四之流。 咱们是专业的~记住了~。
我去年考研，报考的南大数学系基础数学，数学分析考了120，高等代数97。而我学的专业是材料的冶金工程，并且我逃课玩了3年多网络游戏。。。
我想告诉你的是，我用5个月来复习考研，自学这两门课还包括英语政治，这些时间就已经这样了，如果你从大三就开始准备，认真学习积累的话，考个1流的学校一点问题没有。
给你一下数学专业好的大学排名：第一应该首推中国科学院，剩下的有复旦，中科大，武大，南大，浙大，北大，各有千秋。不要以为这些学校遥不可及，看了我的经历我想你明白踏实学习的话不会有问题的。
另外推荐裴礼文编写的《数学分析中的典型问题与方法》，我一直在做。《高等代数的方法研究》李贵荣编，这个书很不错，但是好像不多卖的。如果你是做题狂，还可以考虑吉米多维其数学分析题集。
高等代数里有很多抽象的东西，课本要先看通，很多定理的证明要看通。

好迷茫，大四了，还有三门清考

你说你:一直在学校里补机械制图和CAD.
这样不是很好嘛!
在公司里看重的是能力!(如果你不能给公司创造利润,公司还养你干啥)当务之急还是把学位证拿到手,这是你最高学历的证明.如果家里不缺钱的话，找工作是不用着急的，工作是留给有准备的人的，急于求成并不好！你还是先学学你的专业课（机械制图和CAD），别等面试被刷下来，那样你会更伤心。
考研就没必要里,以你的基础我想在一年内你很难考上,垃圾大学就比说了,考了还不如2年的工作经验呢!
你比你的同学应该强多了,至少你现在已经醒悟了.不要以为大学毕业了就成人才了，真正的大学才刚刚开始。另外要提醒你的是，和你一样水平的不止你一个。好好努力吧！
最后要送你一句话：learn and alive!

急求中科院考研数学分析与高等代数历年真题及解答00-13年

作为一个过来人，我给您提几条参考建议：
首先，你要搞清自己想要读研的目的何在。多数人都认为其目的是找一份好的工作，既然如此，若本科毕业能够找到理想的工作，可以考虑先工作几年，等想充电的时候再读研也不迟。如暂时没找到合适的工作，不妨考虑先读研。
其次，你要考虑好自己的实力，毕竟考研和找工作会有些冲突。如果认为自己有足够的实力，不妨作一个两手准备，在考研的同时兼顾找工作。
最后，我想家庭的经济势力也是自己应该考虑的一个方面。如果经济状况不允许，还是先工作较好。
希望以上几条建议能够给您以帮助！