平行与垂直教学设计

《平行与垂直》教学设计

教学目标：

1、经历联系实际、想象、分类、比较等活动，建立平行与垂直的数学模型。

2、经历联想与判断活动，培养学生抽象逻辑思维，发展学生的空间观念，获得相应数学活动经验。

3、经历数学化过程，体会分类、比较、抽象与概括以及模型化、符号化的数学思想方法。

教学重难点：

重点：自主探究认识平行、垂直。

难点：体会统一平面的含义、区分相交、垂直、平行。

教学准备：

白板、三角尺

教学过程：

情景导入

1、复习直线的特征

2、闭上眼睛想象两条直线的位置关系，把你所想到的画在草稿本上。

【设计意图：复习直线的特征，唤醒旧知。学生通过空间想象感知两条直线的位置,并画在一张纸上,同时就初步感知同一个平面内的两条直线有一定的关系。】

观察分类

展示学生作品，请几位学生说说有什么感受

生：太乱了、不清晰、有很多重复

2、提取6组直线

 

 

3、出示要求，学生小组讨论，进行分类

4、随机挑人，学生代表小组展示汇报，说说这样分的理由

不相交：①、⑥                         

不相交：①、③、⑥

相交：②、③、④、⑤                   

相交：②、④、⑤

针对不同分法，小组对话，达成统一的分类标准

在分类过程中通过课件展示重点引导学生弄清看似两条直线不相交而事实上是相交的情况。（课件展示不相交的两条直线延长后的情况，完善分类标准。）

【设计意图：学生借助想象和认知经验,对两条直线的位置关系有自己的想法,所以在教学时我组织学生以分类为主线,通过小组汇报、班级争论、教师点拨等活动,帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到:在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。】

探究建模

  （一）揭示平行的概念

1、即问即答，观察不相交这一组图，发现什么？

师：请看，这两条直线相交了吗？(没有)想象一下，画长点，相交了吗？(没有)

再长一点，相交了吗？(没有)无限长，会不会相交？(不会)

揭示互相平行概念

师：那么，像这样在同一个平面内的两条直线画得再长再长也不会相交，你们知道这种在同一平面内永不相交的两条直线在数学上叫什么吗？我们就说这两条直线互相平行。(板书：互相平行)

小结：象这样在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线，可以说这两条直线互相平行。(出示概念，学生读一读)

3、理解概念，找关键词

师：你觉得这句话中，应注意哪些词？

4、体会同一平面

引导学生观察不在同一个平面内也不相交的两条线，提问：这两条线是互相平行吗?

    得出结沦：研究平行线要在同一平面内。

5、互相平行的表示方法

师：给两条直线分别加上字母a和b，我们就说直线a与直线b互相平行，记作：a//b,读作：a平行于b。（板书：a//b）

6、揭示课题：平行（板书课题）

（二）揭示垂直的概念

1、观察不相交这一类情况，发现都有一个交点

2、二次分类，根据它们相交的角度不同再给他们分分类

3、用量角器、三角板测量验证

4、揭示互相垂直的概念，找关键词

师：如果两条直线相交成直角，我们可以用直角符号表示，这样就说明他们形成了另外一种特殊的位置关系。（课件演示，揭示互相垂直的概念）

5、互相垂直的表示方法

师：给两条直线分别加上字母a和b，我们就说直线a与直线b互相垂直，记作

a⊥b,读作：a垂直于b。（板书：a⊥b，全班边书空，边跟读）

6、补充课题：（板书：垂直）

7、小结：今天这节课我们研究了两条直线在同一平面内的两种特殊的位置关系，（平行与垂直）知道了在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行，相交成直角的两条直线叫做互相垂直。

【设计意图：在图形的分类等感性认识的基础上，教学平行线与垂线。通过画一画、分一分、说一说、找一找、读一读等多种活动，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。这样的教学符合学生的认知规律，让学生的认识上升到思维的层面来，培养了学生的自主学习的能力，学生的感性认识得到强化，从而逐步认识互相垂直和互相平行的特征。】

联想判断，建立观念

活动一

组织学生联系生活中关于平行、垂直的事例进行想象活动，让学生说出思维的依据




2、活动二

提供四组图形，让学生说出它们之间的位置关系，重点结合意义说出判断意义







3、判断

提供三种图形，找出图形中哪两条线段互相平行或互相垂直




【设计意图：通过有层次的练习让学生进一步加深对平行和垂直概念的理解，从生活中找，从身边找，从图形中找……通过这些练习，进一步拓展知识面，使学生克服学习数学的枯燥感。让学生真正参与学习过程中来，在学习过程中提升自己的能力。】

反思回顾

你是怎样获得平行与垂直的数学观念？（回忆过程，促进平行与垂直的空间观念的建立）

【设计意图：回忆过程，促进平行与垂直的空间观念的建立。】

小学四年级上册数学教案:《平行与垂直》教学设计

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　教学内容：联系生活自编教材

　　教学目标：

　　1、结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。

　　2、通过讨论交流，和谐发展独立思考能力与合作精神。

　　3、在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。

　　4、培养学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学习数学的兴趣、增强自信心。

　　教学重、难点：通过自主探究活动，初步认识平行线与垂线。

　　教学过程：

　　1、谈话导入。

　　1）我们曾经一起学习过有关数的产生，知道了数字和数都是人们在生产劳动、日常生活中逐渐发明和发展的。不但是数字，我们已经学习过的、正在学习的、以及以后将要学习的数学知识都是从人们的生活、劳动中来的，而且学习这些知识又能更好地为生活、生产服务。所以学好数学是一件非常重要的事情，因为它在生活生产中都会用到，同时又是一件非常有趣的事情，因为生活中有很多蕴含数学知识的事例。不信，请注意：

　　2）故事：课间，同学们安静有序地休息。（课件1）

　　朱吕浩在经过吴炫陶的座位边时，不小心把吴炫陶的文具盒弄到了地板上，这时候如果是你，你会怎么做呢？（课件2）

　　（学生发表个人见解，适当进行思想教育）

　　3）朱吕浩也像同学们说的和期望的一样，马上向吴炫陶表示诚挚的歉意后，迅速将散落的文具盒及地面上的铅笔、圆珠笔等文具收拾好放回桌面，事情好象到此结束了。不过，在收拾文具时，他却发现了一件事，而且引起了他的思考，究竟是什么呢？我们来看看。（课件出示散落在地面上的文具，聚焦在两支铅笔上）

　　4）他想到很有意思的一个问题，是什么呢？我们在对他积极思考问题的好习惯表示钦佩的同时，不妨来看看这个问题：

　　（课件出示）两支铅笔落在地面上，可能会形成哪些图形呢？

　　2、探索比较。

　　1）每位同学先独立思考一下这个问题，把可能出现的图形用两支笔代替摆一摆，摆了一种图形后，再把这种图形画在自己的草稿本上。

　　2）摆完后，小组内先相互交流，讨论一下，最后形成小组意见，每小组做好发言准备。（教师巡视，参与讨论，了解情况）

　　3）我们请一个小组来说说他们的发现。

　　学生展示后，还有要补充的吗？

　　4）我们将这些形成的图形整理一下（课件显示）。

　　这些图形，我们能不能进行一些适当的分类呢？思考一下，小组内可以小声讨论，注意可以分成几类？为什么这样分？

　　学生对图形分类，并说出分类的依据。

　　小结：同样是这些图形，我们依据不同的标准，可以有不同的分类。

　　5）我们选取其中一组分类的情况继续研究下去。（按照“相交”和“不相交”的标准分类）

　　3、深入研究。

　　1）我们将落在同一地面上的两支铅笔形成的图形分成了“相交”和“不相交”两类。像这样落在同一地面上在数学上可以表述为“同一平面”。如果一支在地面一支在桌面则是不在同一平面了。（课件显示）

　　2）如果我们把落在同一地面上的两支铅笔，也就是同一平面上的两支铅笔想象成两条直线的话，也就是同一平面上的两条直线形成的图形，现在看看，和原来相比，铅笔换成了直线，思考一下，刚刚的分类会不会有变化呢？

　　3）小组内讨论，引导：直线可以向两端无限延伸。

　　根据学生的回答调整分类。（课件显示）

　　真是了不起，刚刚汤老师和听课的老师们一起领略了同学们的风采，你们真是好样的，学习就应该这样，敢想、敢说、敢问，还要会动手、动口和动脑！

　　4、归纳特征。

　　1）通过同学们自己的探索研究，我们发现了在同一平面内，两条直线的相互关系有两种不同的情况：相交和不相交。

　　2）那么在数学中对这两种情况又是如何介绍和描述的呢？

　　（课件出示）

　　（对相交的情况又是如何介绍和描述的呢？相交——垂直）

　　5、强化特征。

　　1）下列几组直线，请刚刚学习的知识判断一下。

　　2）出示一个长方体形状的盒子，画在不同面上的两条直线，质疑同一平面。

　　3）判断下列哪些直线是互相平行，哪些是互相垂直。

　　指出：平行线和垂线都是相互的，不能单独说哪一条直线是平行线或垂线。

　　引导说：这两条直线是互相平行、互相垂直的，也可以说，这条直线是那条直线的平行线、垂线。

　　6、灵活运用。

　　1）正如我们从生活中发现并学习了平行和垂直一样，我们每天都在与平行线和垂线打交道。你们看，书本相邻的两边是互相垂直的，对边是互相平行的，你还能找一找、想一想你身边哪里有平行和垂直呢？

　　（学生说或组内相互说说）

　　2）出示校园图，找一找平行与垂直。

　　7、拓展巩固。

　　1）我们可以在生活中很多的平行线与垂线，要是给一张这样不规则纸，你能找到平行与垂直吗？

　　2）动手折折，可以折出垂线与平行线吗？动手试试吧。

　　3）学生动手折纸，教师巡视，个别指导。

　　4）展示学生的作品。

　　5）同学们真不简单，竟然能在这样的一张纸上通过自己动手折折平行线和垂线！

　　请把这些纸收拾起来，吃课间餐时还有它的用途呢？我们连一张纸也不要浪费。

　　8、全课小结。

　　你觉得自己这节课怎么样？有什么收获和体会？

　　认为自己很棒的话，请给自己一点掌声。

　　有关平行和垂直的知识还有很多，以后我们会继续去学习和发现这有趣的数学的！

　　设计思路：

　　1、注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生；

　　2、让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，自主完成对知识的建构；

　　3、努力创设新型的师生关系，让课堂焕发生命活力；

　　4、注重发挥评价的激励性作用，丰富学生的情感体验；

　　5、将学生放置于故事情节中，借机适时地进行相应方面的思想教育，促进学生心智的发展；

　　6、充分利用课件，素材采集结合生活，让课件更好地为教学教育服务。

数学《平行与垂直》教学设计

　　教学流程： 　　(一)、从生活实际抽象出数学模型 　　(出示图片)两条笔直的铁轨，看成两条直线，把它们画在纸上，它们的位置关系如同等号。如果你也来画两条直线，还会有什么不同的位置关系呢? 　　学生画一画。 　　(二)、分一分，初步感知平行与垂直的特点 　　1、让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。 　　2、、交流分类情况。 　　可能出现以下几种分法： 　　第一种：分两类——相交、不相交 　　第二种：分三类—— 相交、快要相交的，不相交 　　第三种：分四类—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。 　　(三)、归纳特点，探究规律 　　平行： 　　1、大家先来看第一类，这一类的两条直线的位置有什么特点，想象一下再画长点，会相交吗? 　　2、像这样的两条直线我们就叫平行线，谁能用自己的语言说一说，什么是平行线? 　　3、我们打开书56页，看看书中是怎么定义平行线的。(齐读) 　　4、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“同一平面内”，“互相平行”) 　　5、引导学生正确表述两条直线互相平行。 　　6、介绍用符号表示平行线的方法。 　　7、出示课件：判断是否成平行关系。 　　8、再一次出示铁轨，你还能举出生活中平行的例子吗? 　　垂直： 　　1、下面我们再来看看第二类直线有哪些共同特点?(有交点，都成了四个角)能不能按照角的大小也把它们分分类?有的四个角都是直角，有的四个角不是直角)，你怎么知道他们相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)， 　　2、谁知道像这样两条直线相交成直角是什么关系? 　　3、谁能用自己的.语言说一说，什么是互相垂直? 　　4、我们打开书57页，看看书中是怎么定义互相垂直的。(齐读) 　　5、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”) 　　6、引导学生正确表述两条直线互相垂直。 　　6、介绍用符号表示互相垂直的方法。 　　7、完成题卡：判断每组中两条直线的位置关系，并用符号表示出平行和垂直,写出读法。 　　8、生活中，很多时候平行和垂直都是同时存在的，把它们掺杂在下起，同学们能区分出来吗? 　　(四)、小结，梳理知识结构 　　刚才，同学们在画一画，分一分、说一说、找一找等探究活动中，知道了在同一个平面内的两条直线的位置关系可以分成两大类，相交和不相交。不相交的这一类叫做平行。相交的这一类按照是否成直角也可以分成两类，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我们的世界变得更加有序和美丽。 　　(五)、拓展练习，巩固知识 　　辨析题：1、两条不相交的直线叫平行线。 　　2、同一平面内的两条直线不平行就相交。 　　3、垂线和直角如同孪生兄弟，有垂线的地方就有直角。 　　4、如图 + 直线b叫垂线。 　　(六)、拓展提升 　　本节课，我们主要研究了同一个平面内两条直线平行和垂直的关系，如果再加入一条直线，你还能弄清它们之间的关系吗? 　　出示：如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线之间是什么关系? 　　如果两条直线都与第三条直线垂直，那么，这两条直线之间是什么关系? 　　(七)联系生活实际，进一步提升平行与垂直的应用价值 　　出示图片：(铅锤测平行，水平仪定平行垂直，测量跳远成绩) 　　引导学生了解平行和垂直在生活中的应用，引发学生的深度思考，为下节课做渗透。 　　板书： 平行与垂直 　　不相交—平行 (∥ )( = )( )记作： a//b读作：a平行于b 　　同一平面内 　　相交—成直角—垂直( ∟ )(+)(⊥) 记作：a⊥b读作：a垂直于b

垂直与平行教学设计及教学重难点

　　垂直与平行教学设计(一) 　　教学目标： 　　1、 通过自主探究活动，理解平行与垂直这两种特殊的直线间的位置关系，初步认识平行线和垂线。 　　2、 通过观察、操作、讨论、归纳等活动，积累操作和思考的活动经验，发展学生的空间观念，初步渗透分类的数学思想。 　　3、 渗透社会主义核心价值观。 　　教学重点：正确理解相交、互相平行、互相垂直等概念。 　　教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。 　　教学过程： 　　一、画图感知，研究两条直线在同一平面内的位置关系。 　　今天这节课老师请来了一个老朋友，【课件】这是谁呀?(直线)他是一条直线，那么直线有什么特点呢?(没有端点，可以向两边无限延伸)它就像孙悟空的金箍棒，两端可以无限延伸。这节课，我们继续与直线交朋友，来研究“在同一平面内两条直线”的关系。【板书：同一平面内两条直线】 　　请同学们每人拿出一张白纸，把它平放在桌面上，摸一摸，把这张白纸看成是一个平面，然后，在这个平面上任意画一条直线。如果再在这个平面上画一条直线，这两条直线的位置关系会什么样呢?会有哪几种不同的情况呢?请同学们把你的想法画在白纸上。注意，一张白纸上只画一种情况，想到第二种就在下一张纸上画。你想到几种就画几种，开始吧!(学生试画，教师巡视) 　　二、观察分类，了解平行与垂直的特征。 　　(一)展示各种情况。 　　现在请同学们将你自己的作品展示给你所在小组的伙伴看，在小组中交流一下，比一比，谁的想法最多?并选出几张有代表性的、不同的作品。(小组交流) 　　师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看? 　　(小组展示，将画好的图贴到黑板上) 　　师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗?如果不一样，可以上来补充! 　　(二)进行分类。 　　1、同学们的想象力可真丰富，画出了这么多种情况。为了方便整理，我们给这几幅图标上序号。仔细看看这些不同位置关系的两条直线，是不是有点乱啊?你能把它们分分类吗? 　　2、你是怎么分的?在小组中交流交流。各小组注意做好记录。(小组讨论、交流) 　　3、小组汇报分类情况。 　　谁愿意来汇报你分类的依据是什么?你是如何分类的? 　　谁还想来汇报你是如何分类的? 　　看2号图，先想象一下这两条直线能否相交，我们来把这两条直线延长，你发现了什么?(两条直线相交了)看似不相交的两条直线延长后实际上是相交的。 　　4、揭示平行的概念 　　(1)那再来看看剩下的这组直线相交了吗?(没有)想象一下，画长点，相交了吗?(没有)再长一点，相交了吗?(没有)无限长，会不会相交?(不会)(边提问边用课件演示) 　　(2)那么，像这样在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，学生读一读) 　　(3)你们知道为什么要加“互相”吗?(学生回答) 　　老师强调：平行是两条直线之间的位置关系，可以说直线a与b互相平行，或者说a平行于b，b也平行于a。能不能说a是平行线?(不能，因为平行是相互的) 　　(4)你觉得在这句话中，还应注意哪些词?(同一平面、不相交)“同一平面”是什么意思? 　　强调：判断两条直线是否是平行线时“在同一个平面内”和“不相交”这两个条件缺一不可。 　　我们用符号“//”来表示平行，(板书：//)a与b互相平行，记作a//b，读作a平行于b。 　　(5)辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。(略) 　　5、揭示垂直的概念。 　　(1)咱们再来看看两条直线相交的情况。仔细观察，你们发现了什么?(都形成了四个角) 　　(2)你认为在这些相交的情况中哪种最特殊?(相交形成了四个直角) 　　(3)两条直线相交成直角，而其他情况相交形成的都不是直角，有的是锐角，有的是钝角。 　　(4)你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢?(学生验证：三角板、量角器)(板书：成直角、不成直角) 　　(5)在同一平面内，两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直。课件出示互相垂直的概念，学生读。 　　(6)强调：其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 　　直线a是直线b的垂线，或者说a垂直于b。 　　也可以说b是a的垂线，或者说b垂直于a。 　　垂直和平行一样，也可以用符号来表示，记作： 读作： 　　(7)强调看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。 　　(8)垂直练习 　　6、生活中，我们常常遇到平行于垂直的现象，你能举出几个例子吗? 　　四、 练习巩固，深化垂直与平行的理解。 　　通过刚才的学习，我们已经知道了同一平面内两条直线间有两种关系一种是相交，一种是不相交。同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行;如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 　　5、揭示课题。(板书课题) 　　五、拓展延伸，发展空间观念。 　　下面咱们一起来做个游戏，(出示小棒)每根小棒代表一条直线。 　　(1)先摆一根3号的小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒平行。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒平行。仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?想象一下，有多少条直线跟3号小棒平行? 　　(2)先摆一根3号小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒垂直。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒垂直。想象一下，有多少条直线跟3号小棒垂直?仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行? 　　六、 总结: 　　1、这节课你有什么收获? 　　2、教师总结全课。 　　垂直与平行教学设计(二) 　　《垂直与平行》是新课标人教版四年级上册第四单元第一课时的教学内容，这部分教材是在学生学习了直线与角的知识的基础上教学的，也是认识平行四边形和梯形的基础。由于垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，而且在生活中有着广泛的应用，无论是走在宽广的大街上，还是坐在明亮宽敞的教室里，环顾左右应该都不缺少垂直与平行的现象。对于小学四年级的孩子来说，他们应该都有这样的经验：哪些线是交叉的，哪些线是不交叉的。因此我们在课中要做的就是让学生体验在同一平面内，不交叉的两条直线叫做平行线，交叉里有一种特殊的叫做互相垂直，让学生的认识上升到思维的层面来。鉴于此，在课的开始部分，通过摆一摆让学生在白纸上去画不同位置的两条直线，然后从学生的作品中选出代表性的画法进行分类，从而引出平行与垂直的概念。再通过让学生去找一找，说一说生活中的互相平行与互相垂直的现象，加深学生对垂直与平行的理解。最后通过找、摆等环节，在学生进一步认识垂直与平行的同时，感受数学就在我们身边;通过欣赏生活中的垂直与平行，感受数学的意义。 　　1、在课的开始阶段，请学生直接画出两条直线的位置，现在我想可以先让孩子们闭上眼睛想象：在一个很大的平面上出现了一条直线，接着，又出现了一条直线，那么这两条直线的位置关系会怎样?请同学们睁开眼，把你想象到的直线的位置画出来。这样，以空间想象为切入点，让学生闭上眼睛想象一下在无限大的平面内出现两条直线，并要求学生把想象出的两条直线画下来，直接进入纯数学研究的氛围，创设这样纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力来感染和吸引学生，并有利于学生展开研究，特别是为较深层的研究和探索打好基础，做好过渡，逐步培养学生对数学研究产生兴趣。 　　2、让孩子在体验中去感悟知识。在引出平行的概念“在同一平面内不相交的两条直线互相平行”，我紧接着追问了一句：为什么要加上“互相”两个字?问题一抛出，我就后悔了，因为孩子们刚刚才对“平行”有大致的概念，马上让他们去说“为什么”，可想而知，学生被我问得一头雾水，只有很少几个学生能按照自己的理解来说几句。后来在评课的过程中，很多老师都有同感。作为比较抽象的概念性知识，必须让学生在操作、体验中去感悟，如光用口头解释，只会事倍功半。其实，这个问题非常重要，只是在出现的时机上还应再考虑、再斟酌。陆老师建议，这个问题其实在让学生说了两条平行直线的关系以后，再抛出这样的效果就会更好一些。 　　3、时间把握不够好。严格地说，后面还有一个环节没有完成，虽然不影响整节课的完整性，但起码后面的那个环节没有出现对自己来说是一个遗憾。 　　垂直与平行教学设计(三) 　　【教学目标】 　　1、使学生通过探究活动知道在同一个平面内两条直线存在着相交、平行的位置关系，掌握垂直、平行的概念。 　　2、能正确判断在同一个平面内两线之间的关系。 　　3、通过合作交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。 　　4、培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。 　　【教学重难点】 　　在自主探索中，理解垂直与平行的概念。 　　【教学准备】 　　课件、直尺、三角板 　　【教学过程】 　　一、 画图感知，研究两条直线的位置关系 　　师：同学们，前面我们已经学习了直线，你们还记的吗?好，今天咱们就继续来学习直线的有关知识。 　　1、 想想 　　师：同学们，老师这里有一张纸，如果把这张纸无限扩大，闭上眼睛想一想，它是什么样子?在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现了一条直线，想想这两条直线的位置关系怎样的? 　　2、 画画 　　师：每位同学手中都有这样的一张白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意一张白纸上只能画一种情况。开始吧。(教师巡回) 　　二、 分类探究，了解垂直与平行的特征 　　1、 展示各种情况 　　师：画完了吗?在小组中交流一下，看看你们谁的想法与众不同?(小组交流) 　　师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看?(小组上来展示作品) 　　师：仔细观察，你们画出的和他们一样吗?如果不一样，可以上来交流(学生上来补充不同的情况) 　　2、 进行分类 　　师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。能把他们分分类吗?(在小组中交流、讨论) 　　3、 小组讨论分类情况 　　让学生说分类方法，有 不同意见的学生相互补充。 　　预案;①分两类：相交的为一类，不相交的.为一类。 　　②分三类：相交的为一类，不相交的为一类，快要相交的为一类。 　　③分四类：相交的为一类，不相交的为一类，快要相交的为一类，相交成直角的为一类。 　　教师针对每一种情况作适当的引导，并归纳： 　　在同一平面内两条直线关系分为相交、不相交两类。 　　三、 归纳总结，揭示垂直与平行的概念 　　1、 揭示平行的概念 　　师：那剩下的这组直线相交了吗?想像一下，画长点，相交了吗?再长点，相交了吗?无限长，会不会相交?(边问边演示课件) 　　师：这种情况你们知道在数学上叫什么吗?我们就说这两条直线互相平行。(教师板书：互相平行)知道为什么要加“互相”吗?谁能说说什么是互相平行。 　　师生共同小结：在同一平面画两条直线会出现几种情况。 　　2、 揭示垂直的概念 　　师：咱们再来看看两条直线相交的情况。你们发现了什么? 　　师：你认为这些相交的情况中哪种最特殊? 　　师：像这样的两条直线，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。用自己的语言说说什么是互相垂直。(学生试说后指名回答。课件出示互相垂直的概念) 　　四、 练习巩固，深化对垂直与平行的理解。(练习在课件中) 　　1、 我们去运动场看一看，有没有垂直与平行的现象。 　　2、 生活中，我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举个例子吗? 　　3、 昨天晚上小老虎画了几组直线，我们一起来判断一下它们的位置关系(相交、不相交、垂直、平行) 　　4、 咱们的几何图形中有没有垂直和平行的现象? 　　5、 判断对错. 　　五、 课堂小结 　　通过本节课的学习，你知道了什么? 　　六、 布置作业

人教版四年级上册数学《平行与垂直》教案

　　《平行与垂直》教案 　　教学目标 　　1 知识与技能： 　　理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识平行线与垂线。 　　2 过程与方法： 　　在观察、操作、比较、概括中，经历探究平行线和垂线特征的过程，建立平行与垂直的概念。 　　3 情感态度与价值观： 　　在活动中丰富学生活动经验，培养学生的空间观念及空间想象能力。 　　教学重难点 　　1 教学重点： 　　正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。 　　2 教学难点： 　　理解平行与垂直概念的本质特征。 　　教学工具 　　多媒体设备 　　教学过程 　　1 情境导入，画图感知 　　1.学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。 　　教师：摸一摸平放在桌面上的白纸，你有什么感觉? 　　(1)学生交流汇报。 　　(2)像这样很平的面，我们就称它为平面。(板书：平面) 　　我们可以把白纸的这个面作为平面的一部分，请大家在这个平面上任意画一条直线，说一说，你画的这条直线有什么特点? 　　(3)闭上眼睛想一想：白纸所在的平面慢慢变大，变得无限大，在这个无限大的平面上，直线也跟着不断延长。这时平面上又出现了另一条直线，这两条直线的位置关系是怎样的呢?会有哪几种不同的情况? 　　2.学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系。 　　把你想象的情况画在白纸上。注意一张纸上只画一种情况，想到几种就画几种，相同类型的不画。 　　2 观察分类，感受特征 　　1.展示作品。 　　教师：同学们想象力真丰富!相互看一看，你们的想法一样吗?老师选择了几幅有代表性的作品，我们一起来欣赏一下。 　　如果你画的和这几种情况不一样，可以补充到黑板上。 　　不管哪种情况，我们所画的两条直线都在同一张白纸上。因为我们把白纸的面看作了一个平面，所以可以这样说，我们所画的两条直线都在同一平面。(板书：同一平面) 　　2.分类讨论。 　　教师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。能把它们分分类吗?为了方便描述，咱们给作品标上序号，可以怎么分?按什么标准分? 　　(1)先独立思考：我打算怎么分?分几类? 　　(2)再小组交流：怎么分?为什么这么分? 　　3.汇报交流。 　　教师：哪组来说一说你们的研究结果? 　　学情预设： 　　(1)分两类：交叉的为一类，不交叉的为一类。 　　(2)分三类：交叉的为一类，不交叉的为一类，快要交叉的为一类。 　　(3)分四类：交叉的为一类，不交叉的为一类，快要交叉的为一类，交叉成直角的为一类。 　　教师：你们所说的交叉在数学上叫相交。(板书：相交) 　　质疑：2、3两幅图中的两条直线相交吗? 　　学生说明自己的想法和理由。 　　课件演示：两条直线延长后相交于一点。 　　图6属于哪一种情况?(相交) 　　小结：同一平面内，两条直线的位置关系有相交和不相交两种，但在判断时我们不能光看表面，而要看他们的本质，也就是这两条直线延长后是否相交。 　　3 自主探究，揭示概念 　　1.揭示平行的概念。 　　(1)感知平行的特点。 　　教师：这两条直线就真的不相交吗?怎样验证? 　　结合学生回答用课件演示两条直线无论怎样延长都不会相交的动态过程。 　　(2)揭示平行的定义。 　　①教师：像屏幕上这样，两条直线的位置关系在数学上叫什么呢? 　　②课件出示：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(板书：互相平行) 　　③教师：你认为在这句话中哪个词应重点强调?为什么? 　　结合学生回答，教师举例：这两条直线互相平行吗?为什么?(出示一个长方体) 　　学生体会“同一平面”和“互相平行”的含义。 　　(3)介绍平行符号。 　　①课件分别呈现三组不同位置的平行线。 　　②教师：这三幅图中的直线a与直线b都互相平行，我们用符号“∥”来表示平行，a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。 　　③教师：用这样的方法来表示a平行于b，你们觉得怎么样?是呀，像这样来表示两直线互相平行，既形象又方便。 　　(4)体验生活中的平行现象。 　　教师：生活中我们常常遇到平行的现象，你能举几个例子吗? 　　学生举例后，教师可用多媒体课件适时补充一些生活中的实例。 　　2.揭示垂直的概念。 　　(1)感知垂直的特点。 　　教师：刚才同学们在画两条直线的位置关系时，还画了相交的情况。我们一起来看一看这些相交的情况。(课件或实物投影呈现几组典型的作品) 　　教师：观察一下这些相交的情况，你们发现了什么?(都形成了四个角，有的是锐角，有的是钝角;还有的比较特殊，四个角都是直角……) 　　教师：你怎么知道他们相交后形成的角是直角呢?请同学们量一量，刚才所画的两条相交直线组成的角分别是多少度?通过测量，你们又有什么新发现? 　　学生通过测量能够发现有一种情况比较特殊，所形成的四个角，每个角都是90°。 　　(2)认识垂直的定义。 　　教师：如果两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 　　课件呈现三组垂线。 　　教师：观察这里的三幅图，它们有什么相同点和不同点?根据刚才的比较，能尝试总结你的发现吗? 　　预设：垂直要看两条直线相交是否成直角，而与怎样摆放无关。 　　(3)介绍垂直符号。 　　教师：垂直和平行一样，也可以用符号表示，就是“⊥”，直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 　　(4)感受生活中的垂直现象。 　　教师：生活中我们还会常常遇到垂直的现象，你能举出生活中一些有关垂直的例子吗? 　　学生举例后，教师用多媒体课件补充一些实例。 　　教师：同学们，以上内容就是今天我们学习的有关平行和垂直的知识。 　　(板书课题：平行与垂直) 　　4 练习巩固，拓展延伸 　　1.下面各组直线，哪一组互相平行?哪一组互相垂直? 　　2.下面每个图形中哪两条线段互相平行?哪两条线段互相垂直? 　　结合新知完善对长、正方形特征的认识。 　　5 全课小结 　　通过今天这节课的学习，你有什么收获?还有什么疑问? 　　1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 　　2、如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 　　课后小结 　　通过今天这节课的学习，你有什么收获?还有什么疑问? 　　1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 　　2、如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

人教版四年级数学上册教案：4.1《垂直与平行》

　　《平行与垂直》

　　第1课时 平行与垂直

　　一、教学内容： 平行与垂直P56-P57

　　二、教学目标：

　　1、让学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。

　　2、通过观察、操作学习活动，让学生经历认识垂直与平行线的过程，掌握其特征。

　　3、培养学生的观察能力、空间想象能力和抽象概括能力。

　　三、教学重难点

　　重点： 认识平行线与垂线。

　　难点： 理解“平行与垂直”这两种位置关系的界定的前提是在同一平面内，且理解“永不相交”的含义。

　　四、教学准备

　　课件、铅笔、小棒、展示板、三角板、直尺、手工纸

　　五、教学过程

　　(一)导入新授

　　回忆直线有什么特点?

　　想一想在任意画两条直线可能会形成哪些图形?

　　(二)探索发现

　　第一环节 平行

　　1、每个同学先独立思考，把可能出现的图形用铅笔画一画，小组长组织大家把可能出现的图形汇总。

　　2、教师巡视，参与讨论，了解情况。

　　3、集中显示典型图形，强化图形表征。

　　(1)展示其中一个小组的展示板。

　　(2)除了展示板上的这几种情况，其他小组还有补充吗?

　　4、整理图形，把其中具有代表性的图形通过电脑课件来展示，并编上序号。这些图形，同学们能不能对它们进行分类呢?可以分成几类?为什么这样分?

　　学生用铅笔摆图形，分组讨论。学生在全班汇报，补充说明。

　　5、尝试把画出的图形进行分类。(教师参与讨论，强调学生说明分类的标准)

　　6、根据研究需要，按照“相交”和“不相交”的标准进行分类。(重点讨论第3幅图，直线向两头无限延伸，因此应该是相交的)

　　总结：在同一个平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交和不相交。相交又有成直角和不成直角的情况。

　　7、我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。记作a∥b，读作a平行于b。

　　(这里我们要强调一定是在同一平面内，举出反例异面直线也不相交的反例，但不是平行的关系。)

　　8、你能说一说生活当中在哪里见过平行的位置关系吗?

　　第二环节 垂直

　　1、师黑板上把毛线拉，表示直一条直线，再拿出另一条毛线拉直，表示另一条直线，并与第一条相交。想一想两条直线相交成几个角?各是什么角?(如第4幅图)

　　2、如果教师转动其中一条直线，使∠1变成直角，那么这其余三个角会变成什么角?

　　3、在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。记作a⊥b，读作a垂直于b。

　　(这里要再次强调是在同一平面内，举出异面垂直的关系)

　　4、你能说一说生活当中在哪里见过垂直的位置关系吗?

　　(三)巩固发散

　　1、教材P57 做一做

　　(四)评价反馈

　　说一说你有什么收获。

　　(五)板书设计

　　平行与垂直(在同一平面内)

　　平行：a∥b 垂直：a⊥b

　　六、教学后记

　　第2课时 垂线的画法

　　一、教学内容： 垂线的画法P58-P59

　　二、教学目标：

　　1、使学生明确垂线的重要性质，直线外一点到这条直线间的距离垂线最短。学会用三角板准确的画垂线。

　　2、通过动手操作活动，使学生经历画垂线的过程，培养学生的作图能力。

　　3、培养学生良好的学习习惯，初步培养学生空间想象能力。

　　三、教学重难点

　　重点：学会用三角板准确的画垂线。

　　难点：准确的画出垂线。使学生明确垂线的重要性质，直线外一点到这条直线间的距离垂线最短。

　　四、教学准备

　　课件、三角板

　　五、教学过程

　　(一)导入新授

　　1、回忆一下，你记得什么叫垂线吗?

　　2、怎样画垂线呢?这节课我们来学习画垂线。板书教学内容：垂线的画法

　　(二)探索发现

　　1、先思考：画垂线需要用到什么工具呢?(三角板或量角器)

　　2、阅读教材P58内容，想一想怎样过直线上一点，画已知直线的垂线。

　　3、独立完成做一做第一幅图

　　4、先小组内交流画法，再指名展示。

　　教师总结：过直线上一点画这条直线的垂线

　　把三角板的一条直角边与这条直线重合，沿着另一条直角边画出的直线就是前一条直线的垂线(直角的顶点是垂足)。

　　强调：让三角板的直角顶点落在给定的这点上。

　　5、怎样过直线外一点画已知直线的垂线呢?独立思考后在P58上例2练一练。

　　6、先小组内交流，再指名展示。

　　7、教师总结画法。强调不要忘记标垂足。

　　8、仔细观察，过直线外一点到这条直线的线段可以画几条，看P59页内容，自己再尝试画出几条线段，再比一比这些线段，哪一条最短?你怎样知道的?这条垂直的线段有几条?

　　我们说从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。(点到直线的距离)

　　9、自读P59页例3(2)的内容，小组内交流自己的发现。

　　生：两条平行线间的垂线段长度是相等的。

　　10、教师总结：同一平面内，两条平行线间的距离处处相等。

　　(三)巩固发散

　　1、P58做一做剩余的内容(投影展示，学生演示画法)

　　2、P59做一做1 独立完成后，教师指导：求的最短距离就是垂线段

　　3、P59做一做2 独立完成后，教师总结：这就是人眼的误差，实际上是两条平行线。

　　(四)评价反馈

　　说一说你有什么收获。

　　(五)板书设计

　　垂线的画法

　　六、教学后记

　　第3课时 长方形的画法

　　一、教学内容： 长方形的画法P82

　　二、教学目标：

　　1、会利用画垂线的方法准确的画出长方形。

　　2、通过操作活动，使学生经历画长方形的全过程，培养学生作图的能力。

　　3、通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。

　　三、教学重难点

　　重点： 巩固对垂线的认识，会用三角尺和直尺准确的画出长方形。

　　难点：会利用画垂线的方法准确画出长方形。

　　四、教学准备

　　课件、三角板、直尺

　　五、教学过程

　　(一)导入新授

　　1、回忆上节课所学内容，什么是垂线?怎样过直线外一点画已知直线的垂线?怎样过直线上一点画已知直线的垂线?什么是点到直线的距离?怎样判断两条直线相互平行?

　　2、今天将利用所学知识画长方形。(板书课题)

　　(二)探索发现

　　1、思考：画长方形首先知道长方形的什么信息?(长和宽的长度)

　　2、请你独立思考怎样画一个长10厘米，宽8厘米的长方形

　　3、独立完成后，小组内交流。指名展示。(投影)

　　4、教师总结：因为长方形相邻两边互相垂直，可以利用画垂线的方法画长方形。

　　(1)先画一条长10厘米的线段，作为长方形的长。

　　(2)过这条线段的两个端点，分别作与这条线段垂直的线段，使它们的长度都是8厘米。

　　(3)把这两条8厘米线段另外的端点连接起来。

　　5、修改自己的图形。指名汇报长方形的画法。

　　(三)巩固发散

　　1、完成P60做一做 1、2 指名汇报画法。

　　(四)评价反馈

　　说一说你有什么收获。

　　(五)板书设计

　　长方形的画法

　　六、教学后记

高中数学教案教学设计

　　人生要敢于理解挑战，经受得起挑战的人才能够领悟人生非凡的真谛，才能够实现自我无限的超越，才能够创造魅力永恒的价值。接下来是我为大家整理的高中数学教案教学设计，希望大家喜欢! 　　 高中数学教案教学设计一 　　函数单调性与奇偶性 　　教学目标 　　1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本 方法 . 　　(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念. 　　(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性. 　　(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程. 　　2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想. 　　3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度. 　　教学建议 　　一、知识结构 　　(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系. 　　(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像. 　　二、重点难点分析 　　(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,掌握单调性的证明. 　　(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点. 　　三、教法建议 　　(1)函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来. 　　(2)函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生 总结 规律. 　　函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以 　　\ 　　的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值 　　\ 　　开始,逐渐让 　　\ 　　在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式 　　\ 　　时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如 　　\ 　　)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件. 　　 高中数学教案教学设计二 　　高中数学第一册(上)1.1集合(一)教学案例教学目标：1、理解集合、集合的元素的概念;2、了解集合的元素的三个特性;3、记忆常用数集的表示;4、会判断元素与集合的关系， 　　集合(一)教学案例 　　。教学重点:1、集合的概念;2、集合的元素的三个特征性质教学难点:1、集合的元素的三个特性;2、数集与数集的关系课前准备:1、教具准备：多媒体制作数学家康托介绍，包括头像、生平、对数学发展所作的贡献;本节课所需的例题、图形等。2、布置学生预习1.1集合.教学设计：一、[创设情境]多媒体展示激发兴趣：为科学而疯的人——康托托康(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯—德国数学家、19世纪数学伟大成就之一—集合论的创立人。康托生於俄国圣彼得堡，父母亲是丹_，父亲出生於丹_都哥本哈根，是一个富裕的商人，他的母亲玛丽具有艺术家血统，他父母亲年轻时移居到俄国圣彼得堡，康托就出生在那里，康托是家中长子，并於1856年全家移居到德国法兰克福，也因为康托多次改变国籍，许多国家都认为康托的成就都是它们培养出来的。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角函数地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列 文章 ，通过严格证明得出了许多惊人的结论。康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”.来自数学_的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神_，被送进精神病医院.他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的.真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。今天，我们将学习高中数学第一章集合与简易逻辑的1.1集合(一)，让我们回顾一下初中涉及到集合的有关知识。二、[复习旧知识]复习提问：1.在初中，我们学过哪些集合?实数集、二元一次方程的解集、不等式(组)的解集、点的集合等。2.在初中，我们用集合描述过什么?角平分线、线段的垂直平分线、圆、圆的内部、圆的外部等。 　　实数有理数无理数整数分数正无理数负无理数正分数负分数负整数自然数正整数零3.实数的分类3、实数的分类： 　　实数正实数负实数零 　　4、以下由学生完成：(1)、把下列各数填入相应的圈内 　　0、、2.5、、、-6、、8%、19 　　整数集合分数集合无理数集合 　　(2).把下列各数填入相应的大括号内1、-10、、、-2、3.6、、—0.1、8、负有理数集合：{} 　　整数集合：{} 　　正实数集：{} 　　无理数集：{} 　　3.解不等式组(1)2x-3〈5 　　4.绝对值小于3的整数是—————————————————三、[学习互动]1、观察下列对象(1)2，4，6，8，10，12;(2)所有的直角三角形;(3)与一个角的两边距离相等的点;(4)满足x-3>2的全体实数;(5)本班全体男生;(6)我国古代四大发明;(7)2007年本省高考考试科目;(8)2008年奥运会的球类项目， 　　《集合(一)教学案例》通过学生观察以上对象后，教师提问：[集合的概念](1)集合是什么?某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。(2)什么是集合的元素?集合中的每个对象叫做这个集合的元素。(3)集合、集合的元素怎样表示?一般用大括号表示集合且常用大写字母表示;集合中的元素用小写字母表示。(4)集合中的元素与集合的关系a是集合A的元素，称a属于A，记作a∈A;a不是集合A的元素，称a不属于A，记作aA。2、探讨下列问题(1){1，2，2，3}是含有1个1、2个2、1个3的集合吗?(2)的科学家能构成一个集合吗?(3){a，b，c，d}与{b，c，d，a}是否表同一个集合?通过师生共同探讨得出下面结论：通过师生共同探讨得出结论：[集合中的元素的性质]确定性：集合中的元素必须是确定的。集合的元素的特点互异性：集合中的元素必须是互异的。无序性：集合中的元素是无先后顺序的。组成集合的元素可以是：数、图、人、事物等。[常用数集的表示](1)自然数集：用N表示(2)正整数集：用N﹡或N+表示(3)整数集：用Z表示(4)有理数集：用Q表示(5)实数集：用R表示(正实数集用R_R+表示)四、[四、[互动参与]例1下面的各组对象能否构成集合是()(A)所有的好人(B)小于2004的实数(C)和2004非常接近的数(D)方程x2-3x+2=0的根例2用符号填空(1)3.14Q(2)πQ(3)0N+(4)0N 　　32(5)(-2)0N_6)Q 　　3232(7)Z(8)—R 　　五、[分层议练]1、选择题(1)下列不能形成集合的是()A、所有三角形B、《 高一数学 》中的所有难题C、大于π的整数D、所以的无理数2、判断正误(1){x2,3x+2,5x3-x｝={5x3-x,x2,3x+2｝()(2)若4x=3,则xN()(3)若xQ,则xR()(4)若xN,则xN+() 　　常用数集属于a∈AN、N_或N+)、Z、Q、R。集合集合的概念元素与集合的关系集合中元素的性质确定性互异性无序性不属于aA 　　本节课设计的目的：通过创设情境激发学生的学习兴趣， 课前预习 培养学生的自学能力;多媒体辅助教学提高课堂效益，使教学呈现方式多样化;探索现代教学手段与高中数学教学的整合。 　　 高中数学教案教学设计三 　　集合的概念 　　教学目的： 　　(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 　　(2)使学生初步了解“属于”关系的意义 　　(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 　　教学重点：集合的基本概念及表示方法 　　教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示 　　一些简单的集合 　　授课类型：新授课 　　课时安排：1课时 　　教具：多媒体、实物投影仪 　　内容分析： 　　1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础 　　把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 　　本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 　　这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念 　　集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明 　　教学过程： 　　一、复习引入： 　　1.简介数集的发展，复习公约数和最小公倍数，质数与和数; 　　2.教材中的章头引言; 　　3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录); 　　4.“物以类聚”，“人以群分”; 　　5.教材中例子(P4) 　　二、讲解新课： 　　阅读教材第一部分，问题如下： 　　(1)有那些概念?是如何定义的? 　　(2)有那些符号?是如何表示的? 　　(3)集合中元素的特性是什么? 　　(一)集合的有关概念： 　　由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 　　定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合. 　　1、集合的概念 　　(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集) 　　(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 　　2、常用数集及记法 　　(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合记作N， 　　(2)正整数集：非负整数集内排除0的集记作N_N+ 　　(3)整数集：全体整数的集合记作Z, 　　(4)有理数集：全体有理数的集合记作Q, 　　(5)实数集：全体实数的集合记作R 　　注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括 　　数0 　　(2)非负整数集内排除0的集记作N_N+Q、Z、R等 其它 　　数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0 　　的集，表示成Z _ 　3、元素对于集合的隶属关系 　　(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 　　(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 　　4、集合中元素的特性 　　(1)确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 　　或者不在，不能模棱两可 　　(2)互异性：集合中的元素没有重复 　　(3)无序性：集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出) 　　5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q…… 　　元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q…… 　　⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写 　　三、练习题： 　　1、教材P5练习1、2 　　2、下列各组对象能确定一个集合吗? 　　(1)所有很大的实数(不确定) 　　(2)好心的人(不确定) 　　(3)1，2，2，3，4，5.(有重复) 　　3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 　　4、由实数x,-x,|x|,所组成的集合，最多含(A) 　　(A)2个元素(B)3个元素(C)4个元素(D)5个元素 　　5、设集合G中的元素是所有形如a+b(a∈Z,b∈Z)的数，求证： 　　(1)当x∈N时,x∈G; 　　(2)若x∈G，y∈G，则x+y∈G，而不一定属于集合G 　　证明(1)：在a+b(a∈Z,b∈Z)中，令a=x∈N,b=0, 　　则x=x+0_a+b∈G,即x∈G 　　证明(2)：∵x∈G，y∈G， 　　∴x=a+b(a∈Z,b∈Z),y=c+d(c∈Z,d∈Z) 　　∴x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d) 　　∵a∈Z,b∈Z,c∈Z,d∈Z 　　∴(a+c)∈Z,(b+d)∈Z 　　∴x+y=(a+c)+(b+d)∈G， 　　又∵= 　　且不一定都是整数， 　　∴=不一定属于集合G 　　四、小结：本节课学习了以下内容： 　　1.集合的有关概念：(集合、元素、属于、不属于) 　　2.集合元素的性质：确定性，互异性，无序性 　　3.常用数集的定义及记法 　　五、课后作业： 　　六、板书设计(略) 　　七、课后记：

高中数学教案设计

　　讲授新课前，做一份完美的教案，能够更大程度的调动学生在上课时的积极性。接下来是我为大家整理的高中数学教案设计，希望大家喜欢! 　　 高中数学教案设计一 　　教学目标 　　1。使学生掌握的概念，图象和性质。 　　(1)能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。 　　(2)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。 　　(3) 能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如 的图象。 　　2。 通过对的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想 方法 。 　　3。通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。 　　教学建议 　　教材分析 　　(1) 是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。 　　(2) 本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。难点是对底数 在 和 时，函数值变化情况的区分。 　　(3)是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。 　　教法建议 　　(1)关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是 的样子，不能有一点差异，诸如 ， 等都不是。 　　(2)对底数 的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。 　　关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。 　　教学设计示例 　　课题 　　教学目标 　　1。 理解的定义，初步掌握的图象，性质及其简单应用。 　　2。 通过的图象和性质的学习，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。 　　3。 通过对的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学习兴趣。 　　教学重点和难点 　　重点是理解的定义，把握图象和性质。 　　难点是认识底数对函数值影响的认识。 　　教学用具 　　投影仪 　　 教学方法 　　启发讨论研究式 　　教学过程 　　一。 引入新课 　　我们前面学习了指数运算，在此基础上，今天我们要来研究一类新的常见函数———————。 　　1。6。(板书) 　　这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要。比如我们看下面的问题： 　　问题1：某种细胞_，由1个_2个，2个_4个，……一个这样的细胞_次后，得到的细胞_个数 与 之间，构成一个函数关系，能写出 与 之间的函数关系式吗? 　　由学生回答： 与 之间的关系式，可以表示为 。 　　问题2：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，……剪了 次后绳子剩余的长度为 米，试写出 与 之间的函数关系。 　　由学生回答： 。 　　在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别，从形式上幂的形式，且自变量 均在指数的位置上，那么就把形如这样的函数称为。 　　一。 的概念(板书) 　　1。定义：形如 的函数称为。(板书) 　　教师在给出定义之后再对定义作几点说明。 　　2。几点说明 (板书) 　　(1) 关于对 的规定： 　　教师首先提出问题：为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难，可将问题分解为若 会有什么问题?如 ，此时 ， 等在实数范围内相应的函数值不存在。 　　若 对于 都无意义，若 则 无论 取何值，它总是1，对它没有研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以规定 且 。 　　(2)关于的定义域 (板书) 　　教师引导学生回顾指数范围，发现指数可以取有理数。此时教师可指出，其实当指数为无理数时， 也是一个确定的实数，对于无理指数幂，学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用，所以将指数范围扩充为实数范围，所以的定义域为 。扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值。 　　(3)关于是否是的判断(板书) 　　刚才分别认识了中底数，指数的要求，下面我们从整体的角度来认识一下，根据定义我们知道什么样的函数是，请看下面函数是否是。 　　(1) ， (2) ， (3) 　　(4) ， (5) 。 　　学生回答并说明理由，教师根据情况作点评，指出只有(1)和(3)是，其中(3) 可以写成 ，也是指数图象。 　　最后提醒学生的定义是形式定义，就必须在形式上一摸一样才行，然后把问题引向深入，有了定义域和初步研究的函数的性质，此时研究的关键在于画出它的图象，再细致归纳性质。 　　3。归纳性质 　　作图的用什么方法。用列表描点发现，教师准备明确性质，再由学生回答。 　　函数 　　1。定义域 ： 　　2。值域： 　　3。奇偶性 ：既不是奇函数也不是偶函数 　　4。截距：在 轴上没有，在 轴上为1。 　　对于性质1和2可以两条合在一起说，并追问起什么作用。(确定图象存在的大致位置)对第3条还应会证明。对于单调性，我建议找一些特殊点。，先看一看，再下定论。对最后一条也是指导函数图象画图的依据。(图象位于 轴上方，且与 轴不相交。) 　　在此基础上，教师可指导学生列表，描点了。取点时还要提醒学生由于不具备对称性，故 的值应有正有负，且由于单调性不清，所取点的个数不能太少。 　　此处教师可利用计算机列表描点，给出十组数据，而学生自己列表描点，至少六组数据。连点成线时，一定提醒学生图象的变化趋势(当 越小，图象越靠近 轴， 越大，图象上升的越快)，并连出光滑曲线。 　　二。图象与性质(板书) 　　1。图象的画法：性质指导下的列表描点法。 　　2。草图： 　　当画完第一个图象之后，可问学生是否需要再画第二个?它是否具有代表性?(教师可提示底数的条件是且 ，取值可分为两段)让学生明白需再画第二个，不妨取 为例。 　　此时画它的图象的方法应让学生来选择，应让学生意识到列表描点不是的方法，而图象变换的方法更为简单。即 = 与 图象之间关于 轴对称，而此时 的图象已经有了，具备了变换的条件。让学生自己做对称，教师借助计算机画图，在同一坐标系下得到 的图象。 　　最后问学生是否需要再画。(可能有两种可能性，若学生认为无需再画，则追问其原因并要求其说出性质，若认为还需画，则教师可利用计算机再画出如 的图象一起比较，再找共性) 　　由于图象是形的特征，所以先从几何角度看它们有什么特征。教师可列一个表，如下： 　　以上内容学生说不齐的，教师可适当提出观察角度让学生去描述，然后再让学生将几何的特征，翻译为函数的性质，即从代数角度的描述，将表中另一部分填满。 　　填好后，让学生仿照此例再列一个 的表，将相应的内容填好。为进一步整理性质，教师可提出从另一个角度来分类，整理函数的性质。 　　3。性质。 　　(1)无论 为何值， 都有定义域为 ，值域为 ，都过点 。 　　(2) 时， 在定义域内为增函数， 时，